n分之一为什么发散

调和级数 \\（\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n} \\） 被认为是发散的，原因在于其级数通项 \\（\\frac{1}{n} \\） 不趋于零。根据级数收敛的必要条件，如果一个级数收敛，那么它的通项必须趋于零。调和级数的通项 \\（\\frac{1}{n} \\） 随着 \\（n\\） 的增大而减小，但永远不等于零，因此其部分和会无限增大，导致整个级数发散。

数学上，我们可以这样表达调和级数的发散性：

\\[

\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\ldots

\\]

这个级数的部分和序列是：

\\[

S_1 = 1, \\quad S_2 = 1 + \\frac{1}{2}, \\quad S_3 = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}, \\quad \\ldots

\\]

可以看出，随着 \\（n\\） 的增加，部分和 \\（S_n\\） 也无限增大，因此调和级数是发散的。

需要注意的是，虽然调和级数本身是发散的，但是调和级数的对数 \\（\\ln（n） \\） 是收敛的，这是因为对数函数增长得比线性函数慢。

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